2018年北京交通大学理学院607数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 应用对参量的微分法, 求下列积分:
（1）（2）
【答案】 （1）若
, 所以
,
同理
若
设
则
又因所以
因而
（2）设当因而
时
为连续函数, 且具有连续导数, 所以
故当
时, I （a ）=C（常数）, 又I （0）=0, 从而I （a ）=0.
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当时, 令,
则, 有I （b ）=0, 于是
当时,
同理可得I （﹣1）=0. 综上所述得
2． 讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上的一致收敛性:
（l
）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）设
, 则
故
时,
所以对任意
取
. 当n>N时, 对任意的.
由柯西准则知, 原级数在[﹣1, 1]上一致收敛.
或因为
数在
在[﹣1, 1]上一致收敛. （2）设
上不一致收敛. （3）设从而部分和数列
则
取
则
且
, 所以
而级数
收敛, 从而级
. 及
, 总有
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所以
故原级数在（4）设设
递减, 而
故
在[﹣
1, 0]上一致收敛
.
（5
）设
上一致有界. 又对任意
（6）对任意的故
所以原级数在
3． 设
,
上不一致收敛.
, .
. （1）计算
, 其中L 为
, 取
则
均是单调的, 且
由狄利克雷判别法知原级数一致收敛.
, 则
的部分和数列在（﹣
1,
1）
, 故
由狄利克雷判别法知
,
在[0
, 1]上一致收敛, 从而原级数
内不一致收敛. , 故只需考虑级数
则
在
上的一致收敛性. 且对任意
均单调
螺旋线x=acost, y = asint, z = ct
（条件下A 为有势场, 并求势函数.
【答案】 （1）
）
; （2）设A= （P , Q, R ）, 求rotA ; （3）问在什么
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