2018年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f （x ）在闭区间[0, 1]上连续, 在开区间（0, 1）内可微, 且f （0）=f（1）=0，证明:
（1）存在（2）存在【答案】（1）令
, 使得使得
, 则
∵函数∴函数
在闭区间在闭区间
上连续, 上连续.
使得
（2）令
显然
在闭区间
上连续, 在开区间
且由（1）的结论知, 存在根据罗尔中值定理, 存在
使得使得
由于
所以有
内可微. 由于
即存在
使得
.
,
由连续函数的零点存在定理知, 存在
二、解答题
2． 设
其中f 为可微函数，验证
【答案】设则
所以
3． 试确定曲线
（1）（2）【答案】曲线（1）直线. （2）直线故曲线
上点
4． 讨论下列各函数列
（a ）（b ）（1）（2）（3）
【答案】 （1）设
则
所以
（b ）因为的结论. 又
（2） （a ）
及
在[0, b]上均一致收敛.
在[0, b]上一致收敛, 且每一项均连续, 故在[0, b]上一致收敛, 且每一项连续, 故
而
故
在[0, 1]上有间断点, 故
在[0, 1]上不一致收敛.
上哪些点的切线平行于下列直线: ； .
在x 处的切线斜率为的斜率为1. 由的斜率为2. 由
得x=1, 故曲线得
,
.
上点（1, 0
）的切线平行于直线
的切线平行于直线y=2x—3. 在所定义的区间上:
.
与的一致收敛性；
是否有定理的条件与结论.
满足定理的条件, 进而有定理
满足定理的条件及结论.
即在[0, 1]上一致收敛. 又g （x ）
（b ）因定理的结论.
（3） （a ）
在[0, 1]上一致收敛, 且每一项均连续, 所以
不具有定理的条件. 又, 故
具有定理的条件与结论.
由于
, 从而
也不具有
在[0, 1]上不一致收敛, 故
故
所以
又（b ）由于
在[0, 1]上连续, 故
及
. 易求
得
故
在
处取得[0, 1]上的最大
值
在[0, 1]上不一致收敛.
在[0, 1]上不一致收敛.
不满足定理的条件. 又
的每一项在[0, 1]上连续, 但g （x ）在[0, 1]上不连续, 故
在[0, 1]上均不一致收敛, 故具有定理的结论, 又有
及
在x=0处不连续, 进而不可微, 故
不具有定理13. 10, 13. 11的结论.
5． 求下列不定积分:
（1）（3）
【答案】（1）令
（2
）
（4
）
,
则
（2）令于是
（3）令令
, 则
，则
, 所以原式
所以
,
则, 取,