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一、证明题

1． 证明:函数

（a 、b 为常数）满足热传导方程:

【答案】因为

所以

2． 设

【答案】由

. 证明:级数

收敛.

知, 当n 充分大时有

所以级数收敛. 由条件

知 3． 用

与方法证明:

有相同的敛散性, 从而

收敛.

【答案】令∴

取

则当

时, 有

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即

上有界, 则f 在R 上有界.

有

对于任意

即

故

在R 上有界.

上有上界.

则

由f

是增函数, 必存在惟一整数

4． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数, a 为实数. 证明:若f 在

【答案】因为k , 使得

5． 设f 为定义在

因为f 在

对任意的可得,

对任意的

即

若即

,

故

存在, 设为A , 对

而在, 则对

6．

设n 为正整数, x , y>0, 用条件极值方法证明:

【答案】

先求设令

解得

由于当即

或

. 时, F 都趋于

所以

, 故F 必在惟一稳定点

, 故

在条件x+y=a下的最小值.

上,

, 有

在于是

上有界, 所以存在

使得对任意

正数h 的所有整数倍从小到大依次为:由于h 是f 的周期

, 因而

上的增函数. 证明:

上的增函数

存在的充要条件是f 在

上有上确界. 设使得

【答案】设f 为定义在

上有上界

, 由确界原理可知f 在且对任给的有

当

时.

存在

, 令

上有上界.

.

即

在

为增函

数. 即

处有最小值,

成立.

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7． 设点到集合E 的距离定义为

, 则

;

. 证明:

.

因而或

,

若

若

, 但

. 即X 为E 的聚,

故

,

使则由

于

（1）若E 是闭集

（2）若是E 连同其全体聚点所组成的集合（称为E 的闭包）. 则【答案】（1）因为E 为闭集, 所以E 的余集

, 现

（2）一方面

,

, 存在点列另一方面, 点, 因而

即

, 使这表明

.

若

, 使则

又

, 即

.

这说明X 为E 的聚点, 所以不论

有

即

由

于, 即表示或. 故

都有

即为开集,

由

. , 因

而

综合两方面, 有

二、解答题

8． 利用

（1）（2）（3）（4）（5）【答案】 （1）（2）

（3） （4）（5）因此可得:

求下列极限: