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一、计算题

1． 设函数f （x ）在

计算

方法二当

时, 有

故

2． 设

（1）gradr （2）（2）设

得

得

则

【答案】（1）由

3． 求下列函数的极值:

【答案】（1）由

, 即

,

得f （x ）的稳定点为

, .

和

, 因为

,

, ,

,

试求

内满足

且

,

【答案】方法一

由极值的第三充分条件知, f （x ）在x=0处不取极值. 因为由极值的第二充分条件知, f （x ）在

处取极大值, 极大值为

（2）

由

； 因为（3）

由（1） =0;

因（4）

由

4． 求两曲面

【答案】对方程

关于z 求导得

解得

因此交线在xy 平面的投影曲线的切线方程为

得稳定点为x=1,

因

的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程.

, 故是f （x ）的极大值点, 极大值

为

, 故

是f （x ）的极大值点, 极大值为

.

得稳定点为x=1和

. 因

, 故x=1是f （x ）的极小值点, 极小值为f

, 故x=－1是f （x ）的极小值点, 极小值为

得稳定点为

.

因

. 故x=l是f （x ）的极大值点,

极大值为

二、证明题

5． 设

（1）（2）若

证明:

（又问由此等式能否反过来推出则

所以对于任意的

时, 有

存在正整数

, 当

时, 有

）;

【答案】（1）因为于是当

其中存在正整数

使得当

时, 有

. 又因为所以对上面的

取

则当

时, 有

故

由这个等式不能推出（2）根据极限保号性, 由由平均值不等式有

由（1）的结论可得

再由迫敛性得

如果

则

因此, 由迫敛性得

6． 设

【答案】

例如

可得

如果

但那么

不收敛.

且

. 综上所述, 有

, 证明