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一、证明题

1． 试证明:函数F （x , y ）在点一阶偏导数）.

【答案】F 的等值线为F （x , y ）=c, 它在点故等值线在点

2． 证明:

【答案】因为续. 取

设是任一正数, 则

由

,

得, 但

. 于是, 无

论

故

多么小, 总存在两

点在

上不一致连续.

满

足

的法向量

在[a, b]上一致连续, 但在

在闭区间

的切线方程为

即结论成立.

上不一致连续.

上一致连

的梯度恰好是F 的等值线在点

的法向量（设F 有连续

上连续, 由一致连续性定理知, f （x ）在

3． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明:若f （x ）在[a, b]上有定义, 且在每一点极限都存在, 则f （x ）在[a, b]上有界.

【答案】（1）利用有限覆盖定理证明:由已知, 使得在

内有

, 即

以此构造闭区间[a, b]的一个开覆盖.

f x ）（2）利用致密性定理证明:反证法. 假设（在[a, b]上无界, 则对任意正整数n , 存在使得设

. 于是得到数列, 则

, 矛盾

, 由致密性定理,

中存在收敛子列

,

,

, 设

则

,

（3）利用区间套定理证明:反证法. 假设f （x ）在[a, b]上无界,

则利用二等分法构造区间套

, 使得f （x ）在每个区间

上无界. 由区间套定理, 存在唯一的

然后讨论f （x ）在点f 邻域内的有界性, 推出矛盾.

4． 证明:设方程F （x , y ）=0所确定的隐函数y=f（x ）具有二阶导数, 则当

【答案】由题设条件可得

故

所以

时, 有

二、解答题

5． 求下列复合函数的偏导数或导数:

（1）设（2）设

（3）设

（4）设

（5）设

（6）设

求,

求

（2）

（3）

⑷

（5）由于

,

求求

求求

【答案】（1）令 u=xy,

则

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所以（6）

6． 应用格林公式计算曲线积分的一段.

【答案】由于原积分曲线不是封闭曲线, 不能应用格林公式, 加上从（﹣a , 0）到（a , 0

）的直线段L 1

, 则有

其中D

为封闭曲线L+ L1所围成的区域

, 由极坐标变换,

即原积分 7． 求

【答案】由于

所以

.

.

|其中L 为上半圆周

从（a , 0）到（﹣a , 0）

由原函数的连续性, 若记, 则. 故

8． 求下列不定积分:

（1）（3）

【答案】（1）令

（2）

（4）

, 则