2018年吉林大学经济学院396经济类联考综合能力之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从正态分布
【答案】由题设条件知
由此得
所以
2． 检查四批产品，其批量与不合格品率如下:
表
，若
，试求
.
试求这四批产品的总不合格品率. 【答案】这批产品的总不合格品率为
3． 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，，选取了15个男子（他们的生活条件各不相同）每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm , 过了一个月再测量厚度，得到数据如下:
表
问是否可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿？ （1）设
来自正态总体，结论是什么？
（2）采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？
【答案】 （1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以记差值d 的均值， 则需检验的假设为由于
. 此处15个差值为
，故可算出检验统计量值为
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，
于是检验的p 值为
p 值小于0.05, 在显著性水平0.05下可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿. （2）由于两个负的差值的秩分别为5和6.5, 故符号秩和检验统计量为在使用中是完全等价的），这是一个单边假设检验，检验拒绝域为
下，可知
跟比材料B 的耐穿，二者结果一致
4． 设
为来自指数分布组样本独立，其中
（1）求假设
（正号和负号，在给定n=15
，
，观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料A 制成的后
的样本
，为来自指数分布的样本，且两
是未知的正参数.
的似然比检验；
；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为由微分法容易求出在而在
下参数的最大似然估计为
’
' ，
下参数的最大似然估计为
则似然比统计量为
由求导可知，函数’
故此似然比检验拒绝域可等价写为这就证明了（2）的结论.
为先减后增的单峰函数，
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到诸与诸间的独立性，在原假设有如下抽样分布:
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成立下，
5． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当0 又因为当0 所以 6． 设X 和Y 相互独立, X 服从参数为的泊松分布, 其分布律为 其中 律. 【答案】Z 的可能取值为 且X 与Y 相互独立, 则有 故Z 的概率分布如下 表 1 , 的分布律为 , 其中 , 求 的分布 有相同的边际密度函数. 7． 如果 【答案】记使 是F 因为令 试证: 与X 的分布函数分别为的连续点， 且 故存在因为 使当故存在 和时，有 使当 时，有 对任给的 取足够大的 和 第 4 页，共 34 页
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