2018年江苏大学理学院854概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设总体概率函数如下，
（1）（2）（3）
【答案】（1）样本要使大似然估计为
的似然函数为
达到最大，首先示性函数应为1，其次是
尽可能大. 由于
故
是的单调增由此给出的最
函数，所以的取值应尽可能大，但示性函数的存在决定了的取值不能大于
（2）此处的似然函数为
其对数似然函数为
由上式可以看出
,
限制似然方程
解之
（3）设有样本
其似然函数为
达到最大，应尽可能小，但由限制
因而的最大似然估计为
由于
的主体
是可
是
的单调增函数, 要使其最大
,
将
的取值应该尽可能的大, 由于
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
已知；
这给出
的最大似然估计为关于求导并令其为0得到关于的
关于的单调递减函数，
要使以得到
2． 设
记
为
这说明不能小于
独立同分布，X1的取值有四种可能，其概率分别为
中出现各种可能结果的次数，
（1）确定（2）将
【答案】（1）由于
，使为的无偏估计；
所以
从而有
与的无偏估计方差的C-R 下界比较.
若使T 为的无偏估计，即要求
解之得
即（2）
对数似然函数为（略去与0无关的项）
于是
注意到观测量
是随机变量，且
，故
从而费希尔信息量为
所以的无偏估计方差的C-R 下界为由于
，于是
的方差为
即T 的方差没有达到的无偏估计方差的C-R 下界.
是的无偏估计.
3． 设是来自泊松分布的一个样本.
（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题
在显著性水平为时给出其拒绝域；
（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题
的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；
（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. （1）【答案】泊松分布
的充分统计量是，它是的无偏估计. 若原假设
，
成立，
则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设所以此检验的拒绝域应有如下形式
其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定
或
由于原假设成立下若令泊松分布
的
，故分位数为
. ，则由
可得，这里
的寻求还不是一件易事.
所以在给定理时，该检验的拒绝域为
（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为
»
其中m 为如下整数
考察
的单调性，为此求其导数
所以势函数大.
（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时的渐近分布
是的严格增函数. 由此可知，在原假设
上
在
处达到最