2017年信阳师范学院数学与信息科学学院601数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：如果在旋转曲面的面积公式(3) 的推导过程中，过点该切线在得到公式(3) 。
【答案】
因为过点
作曲线C 的切线，
其方程为
即即
又因为当所以得到
2． 设级数
【答案】设
收敛于A (有限数) . 证明
：
则有
故有
3． 证明：对连续函数f (x ) 有
【答案】令
由于
所以
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作曲线C 的切线，选取的近似可求量
则也可以
的一段绕x 轴旋转一周生成圆台的侧面面积作为
选取该切线在
的一段绕x 轴旋转一周生成圆台的侧面面积
时，有
所以
4． 设曲面z=f(x , y ) 二次可微，且要条件是：
证明：对任给的常数c ，f (x ，y ) =c为一条直线的充
【答案】
为一条直线即由f (x ，y ) =c所确定的隐函数y=y(x ) 在XOy 平面上表示
而
故
由此可见，命题成立.
一条直线. 显然，y=y(x ) 是一条直线
二、解答题
5． 计算下列第二型曲面积分：
(1) (2
)
(3) (4
)
和球面
(5
)
取外侧； 其中是抛物面
方向取上侧； 其
中
为锥
面
其中为锥面
的外侧； 其
中
是闭曲
面
所围立体表面的外侧，f (u ) 具有连续导数； 其
中
是三维空间中xy 平面上的曲线
段
绕y 轴旋转而成的曲面，方向取右侧；
(6
)
其中
是平行六面体
的表面并取
外侧，f (x ) , g (y ) ，h (z ) 为上的连续函数；
(7)
【答案】(1)
补充平面式得
而
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其中为椭球的表面，取外侧.
取其上侧，
设与
围成的区域为
则由高斯公
所以
(2) 闭曲面是由八个平面由高斯公式得
令
则
区域在此变换下变为区域由对称性知，原式
(3) 用
表示以原点为中心、记
为平面z=0上满足成的区域，则由高斯公式得
而
取
为平面
取下侧，则由高斯公式得
故原式
为半径的上半球面，取上侧，取充分小，使
的部分，取下侧，表示曲面
在的内部.
围
组成，其围成的立体为
取外侧，
(4) 由高斯公式得 原式
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