2017年烟台大学数学与信息科学学院730数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明
：
【答案】
因为
在[一1，1]上一致收敛.
对任意的
因为存在.
2． 证明：若
由致 密性定理，存在
不存在，这与
3． 设
的子列
从
的左方或右方收敛于
但
不收敛，即
与
在
上只有第一类间断点，则在
在
上有界.
使
连续，所以
’
在[-1，一 1]上连续，
此
是
上的连续函数，且而
存在.
收敛，
故由魏尔斯特拉斯判别法可知
【答案】
假设
上无界，则对每一个自然数n ,
存在互异点列
只有第一类间断点矛盾. 证明函数
在D 上不可积.
【答案】对D 上任意分割
，若在每个取点
若在每个在(当
取点时) . 即
为非有理点，则在D 上不可积.
因此
的极限不存
使
皆为有理数，则
二、解答题
4．
求
度，并求梯度为零之点。
【答案】因为
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在点
所以：
处的梯
在点在点因
在点
令
解之得
5． 计算四重积分
【答案】作变换则得
6． 求下列极限：
【答案】(1) 因
所以
(2)
7． 设在？
【答案】
故当且仅当 8． 设
（1）对下列分别求出极限定义中相应的N :
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因此使梯度为零之点为
其中
在点a 连续求问在什么条件下存
时存在.
（2）对可找到相应的N ，这是否证明了趋于0? 应该怎样做才对；
由
设
即可. 所以，当
当
这个不等式成立的一个充分条
时，相应的时，相应的
求得
则当
定
这样才能证明
时
，
（3）对给定的是否只能找到一个N? 【答案】（1）对任意
件为
当
即
因此取时，相应的
（2）在（1）中对义，
对任意正数
都找到了相应的N. 这不能证明趋于0, 应该根据数列极限
都找到相应的N. 对于本题，
由
（3）对任意的正数若存在N ，使得当n>N时，都有
也成立. 因此，对给定的
9． 求下列极限：
，若能找到一个N ，则可以找到无穷多个N.
【答案】（1）极限
所以，
（2）当（3）由于
时
，
所以
：不妨设
则
所以
（4）
（5）
（6）因为
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由f （X ）在其有定义的邻域内的值来决定. 而当时
，