2017年烟台大学数学与信息科学学院730数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
(1)
在(ii )
在试证明【答案】先证明条件(ii ) ，存在因此，当令不妨设下面证明对于
因为且
充分接近时，可使
再将y 固定，由条件(i ) ，存在因此
即_
当所以
时，有
由条件(i ) 得
利用(ii ) 及前面的结论，当
当
时，且存在.
时，且
有
根据柯西准则，可证
存在.
就有
点
的某邻域
上，对每个时，对所有
只要
上有定义，且满足： 存在极限
都有
(即对任
意
成立) .
存
在
当
上，关于一致地存在极限
-
2． 设z=f(x ，y ) 在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数，且
证明：z=f(x , y ) 的最大值与最小值只能在区域的边界上取到.
【答案】由f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，所以f (x ，y ) 在D 上一定能取到最大值与最小值. 对D 内任一点(X ，y ) , 记
由已知条件知
所以
故D 内任一点都不可能是极值点，因此f (x ，y ) 的最大值与最小值只能在D 的边界上取到.
3． 设f 为
(1)
(2)
上的连续函数，证明： 在在
上收敛；
上一致收敛的充要条件是
上连续，故f 在
上有界，设
所以
【答案】(1) 因f 在
即在上收敛，且收敛于
(2) 必要性
函数
因为
当
在
上连续，从而
充分性 可考虑将
故时，
上连续及
又因
分成两部分讨论.
在上一致收敛，可得其极限
处连续，故对任意
存在
当时，有
故对上述
的
当
存在N ,
当时，任意的
时，对一
切有
故
总
有所以
，
上一致收敛.
二、解答题
4． 设
【答案】对
是n 个正实数，求
取对数得
所以
5． 求两曲面
【答案】对方程
的交线在平面上的投影曲线的切线方程.
关于Z 求导得
解得
因此交线在
面的投影曲线的切线方程为
6． 求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数
【答案】
所以
所以
7． 设
(1) 求f (x ) 的傅里叶级数； (2) 级数是否收敛？是否收敛f (x ) ? (3) 级数在【答案】⑴
内是否一致收敛？
上
(2) f (x ) 满足收敛定理条件，所以f (x ) 的傅里叶级数在数轴上处处收敛. 在