2017年信阳师范学院数学与信息科学学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 已知
证明
：
则
内严格单调递增.
此即
则
所以g (x ) 在又
内严格单调递增.
此即
2． 证明:(1) 若函数
(2) 设(3) 令
为实函数. 证明:
连续的充要条件是
对任意固定的
都是的连续函数.
【答案】(1) 因为
连续，则函数
也连续； 在
上连续，令函数f 的值
上连续；
等于三值
中介于其他二值之间的那个值. 证明:f 在
【答案】令所以f (x ) 在又f (0) =0，因此
再令，
又因为函
数
也连续.
(2) 由题意知，
连续，所
以也连续，由连续函数的运算性质
知
由(1) 的结论
得
在(3)
由连续函数的运算性质，即知它们都连续.
3． 证明：级数
【答案】证法一：记
的项最多有
由阿贝尔变换得
由柯西收敛准则知原级数收敛.
证法二：将该级数中符号相同的项加括号得
因为
即同理可证
，连续，并且已
知
在
上连续.
上连续，故由连续函数的运算性质知
收敛.
，则任意的n , 存在k ，使
因为
所以
故
中使得
故 4． 设
【答案】因为由利用
判别法可判断，引理，由汙
则
令
取极限得
结论得证. 证明：当
时，有
收敛，且有界，：收敛.
单调递减且
为单调递减数列且趋于0, 故交错级数
收敛，从而原级数收敛.
由题设条件知
收敛，即得
二、解答题
5． 讨论狄利克雷函数
【答案】
对于任意的而
对于任意的正有理数r 有
因此，对任意
有
所以，任意正有理数都是D （x ）的周期，即D （x ）是R 上的周期函数.
6．
计算三重积分与累次积分
【答案】(1) 由于被积函数为
因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分，又由
从而
的有界性、单调性与周期性.
总有
故
在R 上有界
.
可见，D （x ）在R 上不具有单调性
.
其中V
由所确定
；
区域V 用平行于xy 平面的平面截得的是一个圆面，即
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