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一、计算题

1． 盒中有n 个不同的球，其上分别写有数字

再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.

【答案】记X 为抽球次数，则X 的可能取值是又记此得

2． 设

是来自泊松分布

的一个样本.

在显著性水平为时给出其拒绝域；

（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题

的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；

（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. （1）【答案】泊松分布

的充分统计量是，它是的无偏估计. 若原假设

，

成立，

则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设所以此检验的拒绝域应有如下形式

其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定

或

由于原假设成立下若令泊松分布

的

，故分位数为

. ，则由

可得，这里

的寻求还不是一件易事.

则

且有

服从参数为p 的几何分布，因此

由

每次随机抽出一个，记下其号码，放回去

（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题

所以在给定理时，该检验的拒绝域为

（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为

»

其中m 为如下整数

考察

的单调性，为此求其导数

所以势函数大.

（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时的渐近分布

对给定的显著性水平

有

即拒绝域W 中的临界值譬如，

即当n=10时，若

和

时，有，则应拒绝原假设

是的严格增函数. 由此可知，在原假设

上

在

处达到最

3． 下面是亚洲十个国家1996年的每1000个新生儿中的死亡数（按从小到大的次序排列）:

日本 以色列 韩国 斯里兰卡 中国 叙利亚 伊朗 印度 4 6 9 15 23 31 36 65 孟加拉国 巴基斯坦 77 88

以M 表示1996年1000个新生儿中的死亡数的中位数， 试检验:【答案】作差.

. 求检验的p 值，并写出结论.

，发现正数的个数为

，从而检验的p 值为

p 值大于0.05, 不拒绝原假设，即可认为中位数不低于34.

4． 设

试证

为抽自正态总体的简单随机样本. 欲估计

为枢轴量，其中k 为已知常数: 【答案】因为

，故

其中

是自由度为n-1的非中心t 分布，其非中心参数

为已知常数. 又

所以

5． 设随机变量序列

试证:【答案】这时立. 6． 设流经一个

【答案】因为

的分布与

无关，即为枢轴量.

独立同分布，数学期望、方差均存在，且

仍为独立同分布，且

由辛钦大数定律知结论成

电阻上的电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9A 至11A 之间. 试求此电阻上

，所以平均功率为

消耗的平均功率，其中功率

7． 设随机变量X 的密度函数为

试求

的数学期望.

【答案】

8． 设

是来自

的样本，试求

和

9． 某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查，下面是其不完整的频率分布表:

表1

该样本容量为n 因而得

【答案】均匀分布的均值和方差分别为0和