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一、计算题

1． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.

【答案】将此问题看成是：5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=1-p（5个人生日全不同月）

2． 设曲线函数形式为

试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.

【答案】本题相对于前两题来说，变换形式稍显复杂，根据原函数形式，可考虑作如下变换：

变换后的线性函数为则最后的回归函数化为

3． 对一批产品进行检查，如查到第a 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前a 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大，可认为每次查到不合格品的概率都是P. 问每批产品平均要查多少件？

【答案】设每批要查X 件，记q=l-p，则X 的分布列为

表

所以

4． 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，试求该射手进行一次射击的命中率.

【答案】记事件A 为“第i 次射击命中目标”，i=l，2，3，4，且记

由此解得

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进一步，可将之规范化，令

由题设条件知

5． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 试在以下情况下求

（1）X 与Y 都服从参数为p 的几何分布； （2）X 与Y 都服从参数为（n , p ）的二项分布. , 所以【答案】（1）因为X+Y服从负二项分布Nb （2, p ）由此得,

当

时,

注:在（2）因为

的条件下, X

等可能的取值

所以

,

注:此题说明, 在X+Y=m的条件下, X 服从超几何分布. 如果将此题改

成

且X 与Y 相互独立, 则可得

6． 有一个分组样本如下表:

表

1

试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度. 【答案】计算过程列表如下表:

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表

2

因而可得样本均值, 样本标准差、样本偏度和样本峰度分别为

7． 设随机变量X 的分布函数如下，试求E （X ）

.

【答案】X 的密度函数（如图）为

图

所以

8． 设随机变量X 的分布函数为

试求

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【答案】这里X 是连续随机变量，所求概率分别为