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一、证明题

1． 设函数

在

上连续，在.

内可导，且满足

证明:至少存在一点【答案】令中值定

理知，

使得

因此，由罗尔定理可知，故有

2． 设f (x ) 在(a , b ) 内二次可微，求证：

满足

【答案】令

利用

中值定理得

利用

中值定理得

令

则

原式

3． 证明：若函数f 在有一点

使

使

则当

使得

时，

总成立. 否则，若存在：

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使则

在

上连续，

在

内可导. 由题设，利用积分

使得由于

则在

内至少

上连续，且

【答案】用反证法. 如果在(a ，b ) 内不存在

根据连续函数的介值定理，存

在

再由

使

得可得

这与假设矛盾. 设

当

故

4． 设

在

这与题

设矛盾. 故

在内至少存在一

点

使

上二阶连续可导，证明：

【答案】记取由微分中值定理，有

即

于是

有

对上式两边，分别关于

和S

和

上积分，可得

即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

5． 设f

在

【答案】当n=l时，取

当

时，令

则有

则有

若

中有一个为0, 设

则令

有

命题得证.

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上连

续证明：对任何正整数n ，存

在

命题得证.

使

得

若

f

在

点

使得

全不为0, 则必存在两点上连续，因而

在

其中使得

上也连续. 由根的存在定理知，存在一

故对任何正整数n ，存在

6． 设

或

使得则

也即

【答案】欲证上式，即证需证f (X ) 严格单增即可

.

为此，令由于故只

再令

则

令

解得X=l，由所以

或

由此得f (X ) 严格单增，即证.

知g (X ) 在点X=1取极小值，即

二、解答题

7． 设

【答案】令

求

则

即

8． 设

试分别讨论

时极限

是否存在，为什么？

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