2017年南京邮电大学理学院602数学分析之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若在
上为连续函数，为连续可微的单调函数，则存在
【答案】设
则
于是有
由假设使得
2． 设函数f 在区间上满足利普希茨(Lipschitz ) 条件，即存在常数
都有
证明:f 在上一致连续. 【答案】对任给的
故f 在I 上一致连续.
3． 设f (x ) 在
【答案】
由泰勒公式有
其中
甶0与x 之间
.
而f (0) >0，由介值定理，至少有一点
第 2 页，共 32 页
使得
为单调函数，故不变号，从而根据推广的积分第一中值定理，存在
使得对上任意两点
取则当
且时，有
上具有连续二阶导数，又设
则在区间
内至少有一个点
使
使
4．
设函数
在
在
上一致连续，
且
上一致连续，所以
，就有
，
有(n 为正整数). 试证
：
【答案】因为
只要
对固定的
区间的长度
故对上述则当
时，有
取
且为正整数，将区间等分. 记分点
则每个小
由已知条件，对每个当
时，有
记
由式(1) , 有
本题亦可用反证法予以答: 若结论不对，则存在记由就有
于是，当充分大时，有
从而有
由此可得
这与
的假设矛盾.
5． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：
【答案】将
代入欧拉公式，得
第 3 页，共 32 页
因
为
再由式(2) , 有
_
故使
得
，对由
，相应地存在
使得
在_
上一致连续可知，对上述
只要
则
的有界性知，它存在一个收敛子列，不妨设为它本身，满足
又因为
比较上面两式的实部与虚部可得
6． 证明:设在
⑴若
则
(2)
若
收敛，则
【答案】(1) 令
则
于是有
(
在
之间) ，令
有
(2) 由子
收敛，故对任给
有
令
得
第 4 页，共 32 页
上连续
，
则
令