2017年太原科技大学电子信息工程学院875数字信号处理考研题库
● 摘要
一、综合题计算题
1． —个线性移不变的因果系统的系统函数为：
（1）写出该系统的差分方程表示； （2）判断该系统的稳定性； （3）判断该
滤波器是最大相位系统还是最小相位延时系统。
【答案】已知系统函数为：
即：
上式可化为：
对上式求Z 的逆变换可得系统差分方程：
（2）已知系统函数为：
由上式令分母为0得极点：
由系统极点知收敛域是（3）系统零点为：
因为零点在单位圆内的系统叫做最小相位系统。该系统的零点都在单位圆内，因此为最小相位系统。
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不包含单位圆，所以该系统不稳定。
2． 试证明用窗函数法设计FIR 滤波器时，对于所求的频率响应，矩形窗能提供一种最小均方误差意义下的最好的逼近。 【答案】令：
那么
表示将
后的
舍去后带来的总误差。此外，
可表示为：
式中，
产生的，假定：
且当
时
，
如果
是由对
截短所
根据上式由三角函数的正交性得
由于上式中每一项都是非负的，所以，
只有当小。当我们利用
其逼近误差为：
M 越大，误差
越小（因为
值愈小）。
再乘以非矩形窗
后
，
已经不是在最小平方意义上对
来近似
时，欲使近似误差为最小，
时，
才最
的单位抽样响应必须是
的傅立叶系数。这也说明，有限项傅立叶级数是在最小平方意义上对原信号的最佳逼近，
但如果我们把截短后的
的最佳逼近了。
3． 已知模拟滤波器的系统函数
如下：
式中a 、b 为常数，设【答案】该题所给（1）
因果稳定，试采用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器
正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，
的脉冲响应不变法转换公式。设采样周期为T 。
解该题的过程，就是导出这两种典型形式的
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的极点为将
部分分式展开（用待定系数法）：
比较分子各项系数可知，
应满足方程：
解之得，
所以
得到
按照题目要求，
上面的得
这样，
如果遇到将
用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面
表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法
的两项通分并化简整理，可
器的二介基本节结构来实现。由于两个极点共轭对称，所以将
的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。 （2）
的极点为
将
部分分式展开：
得到
通分并化简整理，得到
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