2018年西安科技大学计算机科学与技术学院804高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
3． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
使
则（ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
则A 与B （ ）.
则（ ）.
B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C.
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
时，
由
，用
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
矩阵，则. 则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解 只有零解 有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 5． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
1
未知量个数
所以
二、分析计算题
6． 求下列n 阶方阵的特征多项式和特征根:
【答案】①因为A 秩=0或1, 故A 的高于一阶的子式全为0, 于是A 的特征多项式为.
从而其特征根为
与
②从B 的最后一列开始, 每列都减前一列, 即知于是B 的阶数大于2的子式全等于零. 从而:
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由于B 的2阶主子式为
于是
故
7． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和为3, 向量组
的两个解.
（1）求A 的特征值与特征向量. （2）求正交矩阵Q 和对角阵D , 使（3）求行列式【答案】 （1）由注意到A 是3阶矩阵, 故不全为0的实数；
（2）将
正交化, 则
再单位化, 得
将
单位化, 得
令
则Q 是正交矩阵, D 是对角阵, 且（3）由A 的全部特征值为0, 0, 3, 则B 的全部特征值为
且
的全部特征值为于是
随之可得特征根.
是线性方程
其中B 是
的相似矩阵,
是B 的伴随矩阵.
的两个线性的特征向量.
是
是线性方程组的解, 则是A 的属于特征值是A 的属于特征值
无关的特征向量. 由A 的各行元素之和为3, 则
是A
的特征值, 对应的特征向量分别
由则