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一、填空题

1． 设A , B为3阶矩阵，且

【答案】3 【解析】. 又由于所以

2． 设A 是n 阶实可逆矩阵，则

【答案】【解析】取

则P 为可逆矩阵，且

可见 3． 设A 为

【答案】6 【解析】因为

4． （1）线性方程组

（2）若A 是（3）设n 维向量（5）令

有解的充分必要条件是_____

矩阵，秩A=r秩B=s, AB=0则n , r , s 的关系是_____

由向量组

线性表示，则

一定_____

矩阵，=_____.

把A 按列分块为

，其中

是A 的第j 列，则

的正、负惯性指数均为

符号差为0.

的正惯性指数是_____, 符号差是_____.

，所以

.

，

则

=_____

（4）秩A=r则A 的所有r+2级子式=_____而A 的所有r 级子式_____；

Q 为可逆阵，则A 的广义逆G 必是形式为_____的矩阵；

（6）两个n 级方阵A 与B 是合同的，则B=_____ （7）设V 1, V 2是V 的子空间，维V 1=维V 2=m, 维（8）在空间【答案】（1）秩

（2）

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则维（V 1+ V2）=_____

则D 的特征值是_____，D 的核是_____

中，线性变换秩

（3）线性相关.

（4）0; 至少有一个不为0. （5）

（6）

，其中T 为n 级可逆阵.

（7）

（8）0； P 【解析】（3）因为

可由

线性表出，所以秩

秩

线性相关.

（5）令

那么

（7）因为维维

维维

（8）取

的一组基为

则

D 的特征值全为0, 且（因为常数的导数等于0）.

二、选择题

5． 设

阶矩阵若矩阵A 的秩为则a 必为（A.

B.

C.

D. 【答案】B 【解析】

秩

故

或

但当a=1时，

秩

6． 设

与

为空间的两组基, 且

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此即

①

）

又

②

③

则（ ）.

A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令

将①代入④得

由②有

④

即 7． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

故.

则A 与B （ ）.

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为

即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵

其中得

因此A 与B 合同.

,

故

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式使

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