2017年华南理工大学数学学院864高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
则A 与B （ ）.
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
使
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
因此A 与B 合同. 4． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B. 5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】（A ）
二、分析计算题
6．
【答案】设有一组数
使
证明：如果那么线性无关.
按各分量写出等式，得等式组
即是齐次方程组
的解.
此方程组的系数行列式量组.
7． 设
只有零解.
得
故
是线性无关的向
表示实数域R 上全体2阶方阵按加法和数乘构成的R 上的线性空间，定义
上的一
个双线性函数为
其中
（1）证明f 是（2）求f 在
上的对称双线性函数. 的基
.
下的度量矩阵.
【答案】（1）由f 是双线性函数，只需证明f 是对称的，A , B如题设，则
故f 是
上的对称双线性函数。
下的度量矩阵为
（2） f 在基
8． 设f （x ）和g （x ）是数域P 上两个一元多项式，k 为给定的正整数，求证：f （x ）∣g （x ）的充要条件是两边k 次方得
。
，其中
。
，
，【答案】（1）先证必要性。设f （x ）∣g （x ）则
相关内容
相关标签