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一、解答题

1． 设

且试证

因此,

又因为当

时

t

当

在[a, b]上一致收敛, 由柯西收敛准则,

有

于是有

由柯西收敛准则, 得

2． 求定积分

【答案】作变量替换

则

则

在[a, b], 上一致收敛.

在

【答案】由一致连续性定理可知,

在

. 上连续, 又有函数列

上也一致收敛.

在

上也一致连续.

且时, 有

在

上一致收敛,

3． 设f （x ）在（a , b ）内无上界, 求证

:

f x ）【答案】由于（在（a , b ）内无上界, 对10, 因为1不是上界, 所以对

20, 因为2不是上界,

所以,

使得,

使得对n0, 因为n 不是上界, 所以

由

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, 使得

使得

;

对30, 因为3不是上界,

所以使得

依此下去, 产生一序列

及广义极限不等式知

4． 举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数, 也可能没有原函数.

【答案】

x=0是此函数的第二类间断点, 但它有原函数

另外, 狄利克雷函数D （X ）, 其定义域R 上每一点都是第二类间断点, 但D （x ）无原函数.

5． 应用高斯公式计算三重积分

,

其中V 是由【答案】

6． （1）求表面积一定而体积最大的长方体；

（2）求体积一定而表面积最小的长方体.

【答案】（1）设长方体的长、宽、高分别为x , y , z , 表面积为限制条件为:

设

令

解得

因所求长方体体积的最大值, 且稳定点只有一个, 所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.

（2）设长方体的长、宽、高分别为z , y , z , 体积为v , 则表面积件:xyz=u

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与所确定的空间区域.

则体积为

故表面积一

限制条

设令

解得

故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.

7． 设C 是柱面

计算曲线积分

【答案】由斯托克斯公式得

8． 计算

【答案】设球面

其中S 是球面

并取外侧为正向.

所围成的区域为V , 则由GauM 公式知

由对称性知

, 故有

9． 求下列极限:

与平面

的交线（a , h>0）, 且从x 轴正向看为逆时针方向,

）1（

【答案】（1）

（2）

.

（2）

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