2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题
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2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（一）.... 2 2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（二）.... 7 2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（三）.. 13 2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（四）.. 17 2018年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（五）.. 22
一、证明下列各题
1． 证明:
（1）无穷积分（2）无穷积分【答案】利用级数法. （1）原积分
而
当
时有
故
由
发散, 可知
发散, 从而原积分发散.
发散; 收敛.
（2）类似于（1）, 有原积分而
当
时利用不等式
, 有
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故
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由
收敛, 可知
收敛. 同理可证
收敛,
从而
收敛. 由此可知, 原积分收敛.
2．
设函数f
（X ）, g （
x ）在
[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且
求证:如果
严格单调增加
, 则
, 和
都严格单调增加
. 【答案】
不妨设
定理, 存在
使得
又因为
严格单调增加, 所以
从而
从而
严格单调増加. 同理可证
单调增加
.
. 证明:
【答案】将结论变形为
进而写成
由使
在式（1）中, 若
, 即
再结合式（2）, 问题就解决了. 而对f （x ）在[a, b]上应用拉格朗日中值定理即可知式（3）成立.
分别代替f （x ）, g （x ））, 根据柯西中值
（否则用
3．
设f
（x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且
,
使得
可以看出, 首先应对f （x ）和在[a, b]上应用柯西中值定理. 这样就有,
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4． 设f 在
【答案】令因此, g
为
上可微, 且
则
上的递减函数. 于是
,
证明:在
因为.
上
, 所以
,
故
, 由此
. 得在上
5． 设函数f 在[a, b]上可导. 证明:存在
【答案】令
连续, 在（a , b ）内可导, 且有
故由罗尔中值定理知, 存在 6． 设
并求J （2m , 2n ）. 【答案】
, 使得
, 使得
, 由f （x ）在[a, b]上可导可知, F （x ）在[a, b]上
, , 即
（m , n 为正整数）, 证明:
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移项解得
. 同理
移项解得
由上述结论可得
而