2017年伊犁师范学院数学基础之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． （1
）设
求X 使
（2
）设求x 使
而判断A 是否可逆和求
【答案】（1）若A 是可逆矩阵，则可求得矩阵方程的解为解可通过（A , B ）的行最简形一起解决：即若时，把B 变为
则A 可逆，并且初等行变换把A 变为E 的同
于是A 可逆，且（2）用初等列变换求因
但通常习惯用初等行变换求X.
，计算如下：
于是
从而
2． 设3阶对称阵A 的特征值为与特征值A.
【答案】方法一：（1）求矩阵A 的对应于特征值由对称阵特征向量的性质知，
其系数矩阵
与和
都正交，即有
对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量
求
的秩等于1. 于是，是它的一个基础解系，取其为
（2）把向量组用施密特方法正交化，得
（3）分别把向量令
，单位化，得
于是
则Q 为正交矩阵，并有
方法二：因A 是对称阵. 故必存在正交阵Q ，使也即
（1）并且，若Q 按列分块为
则向量是对应于特征值
位特征向量. 于是，由题设
由⑴式得
的单
于是
3． 举反例说明下列命题是错误的：
（1）若
（2）若
则
则
则A=（9或A=五；
（3）若AX=AY, 且
【答案】⑴取
有，但
⑵取
有
但
且
（3）取有AX=AF，
且但
4． 设
，（k 为正整数），证明E-A 可逆，
并且其逆矩阵
【
答
案
】
则知E-A 可逆，
且其逆矩阵
5． 用矩阵记号表示二次型：
（1） （2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
6． 设
且
求B
【答案】由方
程
合并含有未知矩阵
B
的项，
又，
其行列式
由
得