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一、计算题

1． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （4）2 4 1 3；

（5）1 3... （2n-1） 2 4 ... （2n ）； （6）1 3... （2n-1） （2n ） （2n-2）... 2. 【答案】（1）此排列为自然排列，其逆序数为0;

（2）此排列的首位元素的逆序数为0; 第2位元素1的逆序数为1; 第3位元素3的逆序数为1; 末位元素2的逆序数为2, 故它的逆序数为0+1+1+2=4;

（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0; 第3位元素2的逆序数为2; 末位元素1的逆序数为3, 故它的逆序数为0+0+2+3=5;

（4）类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0, 0, 2, 1，故它的逆序数为0+0+2+1=3;

（5）注意到这2n 个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对. 第n+l位元素2与它前面的n-l 个数构成逆序对，故它的逆序数为n-l :同理，第n+2倍元素4的逆序数为n-2;; 末位元素2n 的逆序数为0. 故此排列的逆序数为

（6）与（5）相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第n+2位元素（2n-2）的逆序数为2; 第n+3位元素2n-4与它前面的2n-3，2n-l , 2n ，2n-2构成逆序对，故它的逆序为4; …；末位元素2的逆序数为2（n-l ）, 故此排列的逆序数为2+4+…+2（n-1）=n（n-l ）.

2． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使即A 与单位矩阵E 合同.

【答案】充分性：若存在可逆阵U , 使处的值

即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知.A 是正定矩阵. 必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵Q , 使

其中

2, …, n 记对角阵从而

记

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任取就有并且A 的二次型在该

是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，

故

显然U 可逆，

并且由上式知 3． 设

，

，c 与a 正交，且求

因

正交，有

有

故

【答案】以左乘题设关系式，得

得

而

4． 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系：

（1）（2）

【答案】（1）増广矩阵

据此，得原方程组的同解方程

取得特解

取得对应齐次方程基础解系

（2）增广矩阵

得同解方程组为

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令得特解分别令，

得对应齐次方程的基础解系

5． 判定下列向量组是线性相关还是线性无关：

（1）

（2）

【答案】记（1）、（2）中向量所构成的矩阵为A. （1）

（2）

6． 2阶对称矩阵的全体间.

在

中取一个

某

求T 在基

【答案】对于i=l, 2, 3, 把次看倒

’

下的矩阵. 中的向量，并记为

分别计算基向量在T 下的像如下：

对干矩阵的线性运算构成3维线性空

在V 中定义合同变

换

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