2018年广西科技大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且
.
证明:【答案】由所以得
. 进一步由
得
得
.
又因为
，
2． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
下证充分性:因为
由联合密度函数的正则性，得
又因为
9 »
由此可得
x ）所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （与也相差一个常数因子
3． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
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又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
.
，所以记
相差一个常数因子，
，这两个常数因子的乘积为1. 的容量为
的样本中位数是
证明
的密度函数关
与
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
4． 设
与
是偶函数，从而
试证明:当n 充分大时
，
的密度函数
关于
对称，
与
分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
为一独立同分布的随机变量序列，已知
近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.
【答案】因为为独立同分布的随机变量序列，所以也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为
5． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明:
【答案】
6． 设
证明:
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
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【答案】因为
由此可得马尔可夫条件
相互独立，且
所以
由马尔可夫大数定律知 7． 证明:
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
8． 设
是来自
的样本，
是来自
的样本，两总体独立.c ，
. ，则
服从大数定律.
d 是任意两个不为0的常数，证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立，故
于是
与分别是两个样本方差.
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