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一、计算题

1． 设

在以点

为顶点的四边形上服从均匀分布, 令

.

（1）求U 与V 的边缘密度； （2）求X 与Y 的联合分布律； （3）求X 与Y 的协方差.

【答案】 （1） U 和V 的联合密度为区域,

如图1所示

.

, 其中D 为四边形所围成的

图

1

（2）同理可得, 故联合分布律为

.

表

1

（3）易得X 与Y 的边缘分布律

表

2

于是

2． 验证:正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体伽玛分布

，其密度函数为

则

的后验分布为

，其中

已知，

为其样本，取

的先验分布为倒

.

即

（均值已知）的共轭先验分布.

3． 设随机变量X 仅在区间

，这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差

上取值，试证:

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证:

. 由上题的结论知

注:此命题表明有界随机变量的数学期望和方差总是存在的.

4． 设正态总体的方差为已知值，均值，只能取或的样本均值. 考虑如下柃验问题

若检验拒绝域取为

则检验犯第二类错误的概率为（1）试验证:（3）当

【答案】 （1）由于

，从而在，并且要求

，

给定时，有

时，样本容量n 至少应为多少？ 两值之一，为总体的容量n

（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？

，故检验犯第二类错误的概率为

这给出

，也即

，从而在

（2）若n 固定，当减小时，

就变大，由

为常量可知

就变小，

给定时，有

从而导致增大. 同理可知:当减小时增大.

这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.

（3）由

查表可得

，于是

将

代入，有

即n 至少应为468.

5． 如果

【答案】对任意的

试证:首先考虑

的分布函数