2018年广西科技大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是独立同分布的正值随机变量，证明:
【答案】记又因为由此得
2． 设由
明:样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为|
即
，将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
，则诸同分布，且由
，所以有
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
，知|
存在且相等，
证明完成.
3． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又则
, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
为总体的样本,
又故 即证
是
的无偏估计量.
方差为与
的相关系数为
为的线性无偏估计量，故
是来自该总体的一个样本，
4． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:
【答案】由于其中
于是
而
故有
从而
为的任一
5． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于从而
这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到
所以
从而
为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
因而
故
于是
在
时,
这说明作为0的无偏估计，在
比样本均值有效.
时，
样本中程
6． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
.
，移项即得结论.
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
若
其中
则
而
8． 设
正是泊松分布的特征函数，故得证.
为n 维随机变量，其协方差矩阵
存在. 证明:若
使得
【答案】由于使得另一方面，
7． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布
则
【答案】二项分布因为
所以当
的特征函数为
时，
则以概率
1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数
意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量