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一、计算题

1． 某人参加“答题秀”，一共有问题1和问题2两个问题. 他可以自行决定回答这两个问题的顺序. 如果他先回答一个问题，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题. 如果他有60%的把握答对问题1，而答对问题1将获得200元奖励；有80%的把握答对问题2，而答对问题2将获得100元奖励. 问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大化？

【答案】记X 为回答顺序为1，2时，所获得的奖励，则X 的分布列为

表

1

由此得E （X ）=168（元）

又记Y 为回答顺序为2，1时，所获得的奖励，则Y 的分布列为

表

2

由此得E （Y ）=176（元）

因此应该先回答问题2，可以使获得的奖励的期望值最大.

2． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球，从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率.

【答案】从两个口袋中各取一球，共有出黑球，这共有

种取法，于是

3． 设曲线函数形式为出；若不能，说明理由.

【答案】不能. 此处a 是未知参数，我们不能采用如上题所用的方法，即取v=ln（y-a ），这样的变换是行不通的，因为这样变换后的v 无法观测.

4． 设来自伽玛分布族

【答案】样本的联合密度函数为:

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种等可能取法，而两个球颜色相同有两种情况：

第一种是从甲口袋取出白球、从乙口袋也取出白球；第二种是从甲口袋取出黑球、从乙口袋也取

问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给

的一个样本, 寻求的充分统计量.

由因子分解定理,

或

是充分统计量.

5． 掷两颗骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6；（2）点数之和不超过6；（3）至少有一个6点.

【答案】

A=“点数之和为6”=B=“点数之和不超过6”

C=“至少有一个6点”

所以（1）P （A ）=5/36；（2）P （B ）=5/12；（3）P （C ）=11/36.

6． 设是来自的样本,

试求常数c 使得

的自由度.

【答案】由条件:立, 因而

, 故

服从t 分布, 并指出分布

且相互独

这说明当

时,

, 自由度为

7． 为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从某年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位：g ）:

12月：6月：=0.05）?

【答案】设冬、夏两季新生女婴的体重分别服从

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假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取（α

考虑检验问题：

因而，考虑检验统计量

所以不拒绝原假设，不能认为女婴体重的方差是“冬季的比夏季小

8． 设能获得

是取自均匀分布总体作为的无偏估计.

则

从而

可见

不是

的无偏估计量. 由

解之得

因而

是

的无偏估计量. 记

为样本相应的次序统计量，于是

有

【答案】

令

的估计量，问

的一个样本，若分别取

是否为

和

的无偏估计量？如果不是，如何修正才

二、证明题

9． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计

令

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

这说明

于是

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是其样本，

，证明：

是θ的充分统计量，则对

这说明，在均方误差准则下，人