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一、选择题

1． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此

2． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2设二次型矩阵A , 则

是不定二次型，故选B.

线性相关，所以线性相关，故选A.

是（ ）二次型. 于是

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

均为n 维列向量，A 是

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）.

线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

由于因此否定A , C, A中有二阶主子式

从而否定D , 故选B. 3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为

即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵

其中得

因此A 与B 合同.

4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

5． 设线性方程组的解都是线性方程组

A. B. C. D.

,

故

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式使

则A 与B （ ）.

则为（ ）.

的解, 则（ ）.

【答案】C 【解析】设即证

与

的解空间分别为

则

所以

二、分析计算题

6． 求方程组

的所有实数解. 【答案】设

由以

得

为根作3次方程

由⑥知，

中有一个等于n ，再由①知另外两个互为相反数，因此原方程组的解为

或

或

其中k 为一切非零实数.

7． 设B 为一

证明:

如果如果【答案】是

秩为

由

那么

那么

就有

即

由

知

故

即有

的每个列向量都是齐次方程组

秩

于是

的解

. 的基础解系的

矩阵，C 为一

矩阵，且秩

阵，这方程组中有r 个未知数. 又秩它只有零解. 故

故