2018年中山大学公共卫生学院678数学分析与高等代数之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 是为正定矩阵.
【答案】因为A 为实矩阵，且
所以B 为n 阶实对称矩阵. 又对
所以
满足的关系 式，
2． 对以下
因而B 为正定矩阵.
且
实矩阵，E 为n 阶单位阵. 已知矩阵
试证明：
时，矩阵B
（2）在没有给出抽象矩阵所满足的关系式时，要说明其正定常考虑使用定义（本题中，
没有
只是一个记号）. 求
满足：
【答案】①由辗转相除法得
故
再由前两个等式整理得
由此得
②解法1待定系数法. 由上题知，可设
将其代入
中，再整理并比较系数可得
解此得因此，
，
解法2辗转相除法. 由于
故整理后亦可得以上的
3． V 是
又
显
然
按矩阵加法与数乘矩阵构成的实数域R 上的线性空间, 证明其维数为
表
示
元为1, 而其余元素全为零的nxn 矩
阵
, 有
线性无关, 并且任给
【答案】
用
按定义有
且构成V 的基.
为T
4． 设T 是数域K 上n 维空间V 的一个线性变换, 在某基下的矩阵为对角矩阵, 又的全部互异的特征值. 证明:存在V 的线性变换
其中
为特征值的特征子空间.
【答案】由于T 可对角化, 故V 为所有特征子空间的直和, 即于是对V 中任意向量总可唯一表为
使
（1）
现在令①对V 中任意
易知
由（1）可得
因此,
②由于对V 中任意故③当⑤显然
④对任意
有又任取
则
时, 由于对任意
有
故
故 所以
有
是V 的线性变换.
5．
设
为一个非零常数. 作线性方程组（1）解当且仅当（2）对任何
为数域P 上的n 阶方阵，满足条件及（2）
有解.
有解的充要条件是A 可逆
.
分别有解
试证明方程组（1）对任何
其中b
有
【答案】首先证明，（1）对任何
设对n 阶单位矩阵E 的第i 列
有
令
所以A 可逆
. 如A 可逆，
则
同理可答:（2）对任
何
事实上，由
有解
得
，则
有
解知
可逆，因此问题归结为证
明
故有问题得证.
6． 设n 阶实方阵A 如下，试求b 的取值范围使A 为正定方阵
.
【答案】记为A 的k 阶顺序主子式，则
所以，A 为正定矩阵的充要条件是
由于A 正定的充要条件是
即