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一、选择题

1． 设行列式

，则方程，为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

的根的个数为（ ）

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

有两个根

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.

记

A.

B.

C.

D. 【答案】D

【解析】由题设知，所以

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

A.E B.-E C.A D.-A

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则A=（ ）.

则为（ ）.

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

4． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C. 5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.

所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B

则A 与B （ ）.

时，

由

，用

使

则（ ）.

右乘两边，可得

由

左乘

这与可得

矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，

二、分析计算题

6． 设是数域P 上线性空间V 的线性变换, 且

（1）（2）

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证明:

（3

）如果是V 的线性变换, 且【答案】 （1）所以

故（2）

, 且

从而

故

因为

则 于是

.

都是的不变子空间,

则

. 反之,

因为

所以

（3）先证事实上,

于是

由（

2

）可设

注意到则

是于是

故

7． 设n 阶方阵

对角上元素为1和0.

【答案】由于因子只能由

于是A 相似于

故A 满足构成.

故存在可逆方阵P . 使

因而A 的最小多项式整除

的初等

且

证明:存在可逆方阵P , 使

与

皆为对角矩阵且主

子空间, 则

于是

则

注意到

（1）

是

子空间,

有

（1）

令

则由

得

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