2018年中央民族大学理学院843高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
（1）（2）当【答案】⑴
是非零列向量,
由①式有
时，由上面（1）
有
矛盾，所以A 是不可逆矩阵.
2． 设是酉空间V 的线性变换, 证明是酉变换的充要条件是
【答案
】
>由酉变换的定义
,
）由已知, 即
亦即
将换成即
结合式（1）、式（2）知
因此是V 的酉变换.
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其中I 是’’阶单位矩阵，的充要条件是
时，A 是不可逆矩阵.
是n 维非零列向量，是
的转置，证明：
即
但
（2）用反证法. 若A 可逆，
当
有特别地,
取则
有
有
可得
3． 设线性空间V 的两组基为
（1）求证:（2）如果【答案】（1）设
, 是否存在使得
, 使
. 使
. 记
. 因为
为V 的基. 为V 的基, 为什么？
由过渡矩阵A 的第i 行不全为0, 设
所以
上式右侧的n 阶矩阵可逆, 故（2）结论成立. 事实上:由（1）存在使. 显然
4． 设
【答案】
则
是V 的基; 再由（1）存在使
是V 的基.
仍是V 的基, 这里
是1, 2, 3的一个排列.
是V 的基, 这里
判断f （x ）是否有重因式，并求f （x ）的标准分解式.
应用辗转相除法可得
所以f （x ）有重因式. 又
所以f （x ）的不可约因式只有x+1和x-2考虑到的4重因式. 因此，f （x ）的标准分解式是
可知x+1是f （x ）
二、证明题
5． （1）设咒阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式及最小多项式, 问A 与B 是否相似? 若是, 则给予证明；若不是, 则举出反例.
（2）
设
这里
都只有一个特征
值
证明:A 与B 相似的充分必要条件
是
分别表示A , B 的属于特征子空间.
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【答案】 （1）矩阵A 与B 不一定相似, 例如
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则它们的特征多项式相同, 均为（2）必要性. 由而设
形中对角线上皆为
当
若当块的块数为m.
时, A , B的若当标准形皆为
故当
时, A , B的若当标准形皆为
故当
时, A , B的若当标准形皆为
故
6． 证明:
而
的k
重根的充分必要条件是
是
的k
重根的条件是
是
的k 重因式，
再由根与一次因
而
, 故
, 则
最小多项式也相同, 均为
于是
显然A 与B 不相似.
因
充分性.
的代数重数为3,
几何重数为m , 故A , B 的若当标准
则存在可逆矩阵P , 使得
综上所述, 总有
是
【答案】根据定义，
式的关系，即得是的k 重根的充分必要条件是
7． 设是线性空间V 的子空间, 证明:
【答案】①任取令
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则
且
（1） （2）