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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,

记

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由已知，有

于是

2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

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则（ ）.

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B

则为（ ）.

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

4． 设A 、B 为满足的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.

A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设

由于性相关. 又由方法2:设考虑到

即

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

知

，

由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.

由于

所以有

所以有

可推得AB 的第一列

并记A 各列依次为

从而

线

由于

不妨

二、填空题

5． 设

间的维数为2, 则a=_____.

【答案】6

若由

生成的向量空

6． 设

其中，【答案】【解析】因

所以则线性方程组

的解是_____. 有唯一解，

由克莱姆法则，并结合行列式性质，立知

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7．

【答案】【解析】

_____

8． 已知方程组

【答案】-1 【解析】

且已知原方程组无解秩

秩

此即

，

无解，则a=_____.

三、证明题

9． 如果f （x ）, g （x ）不全为零. 证明：

【答案】根据定理，有多项式

使

在根据定理，可得

10．

设列向量

【答案】设但

故

则

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于是

为线性方程组

则由于

的解向量. 证明：

故

反之，设