2017年云南大学数学与统计学院606高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 2． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
不妨设
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB 的第一列
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则线性方程组（ ）•
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
从而
线性相关.
又由方法2:设考虑到
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵 . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题设知所以 5． 设向量组 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ） 【答案】C 【解析】方法1:令 则有 由 线性无关知， 该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于 从而 线性无关，且 因为 所以向量组 第 3 页，共 48 页 线性无关. 线性无关. 二、分析计算题 6． 设A 为 实矩阵，则存在n 阶正交阵Q 和m 阶正交阵P , 使得 其中 且秩 【答案】因为AA' 乒正定，从而存在正交阵P , 使 由于令 不失一般性，可设 由②得 将P 分块. 令 则 由于P 为正交阵，因此 令又因为由⑦可得 由于秩 矩阵 但 因此这样由 由于 有m —r 个线性无关的解. 将它们正交单位化后， 构或可得 从而Q 为正交阵. 并由④⑨式得 . 则 用6左乘，实矩阵，且 所以 _右乘④式两端得 由⑧式，得 其中 由⑧即证 第 4 页，共 48 页