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一、选择题

1． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

则当（ ）时，此时二次型为正定二

所以f 为正定的.

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

3． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知

线性相关，所以

于是

因此线性相关，故选A.

4． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

使AB=0, 则（ ）

.

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

当C.

时，由AB=0，左乘可得矛盾，从而否定A ，故选

5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

二、分析计算题

6． 设矩阵

（1）问是否存在X ，使得（2）将（1）的结论给予推广. 【答案】（1）由

得A 的特征值为0，27，-27. 注意到A 是实对称矩阵，存在正交矩阵U ，使得

令

事实上. 由于存在正交矩阵U ，使得

若存在，求出X ；若不存在，请说明理由.

（2）若A 是实对称矩阵，则存在X ，使得

这里都是实数. 注意到实数总能开立方，设.