2017年云南大学数学与统计学院606高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
由②有
为空间的两组基，且
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
不一定是线性变换，
比如
.
则
也不是线性变换，比如给
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
，而不是惟一的.
4． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
5． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为
=（ ）.
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
二、分析计算题
6． 设
①②
是欧氏空间V 的两个对称变换，证明： 也是V 的对称变换； 是对称变换当且仅当
是对称变换，故
因此，②设又因为由于反之，若
是对称变换. 是对称变换，则对都是对称变换，故又有
的任意性，故由（5）, （6）得
则
【答案】是线性变换显然. 又因为
有
即真是V 的对称变换.
7． 求以下g （x ）能整除f （x ）的条件：
，可得商和佘式分别为：
【答案】①用g （x ）去除f （x ）
令
得
即
展开后比较两端同次项系数可得：
由此解得：
8． 设A 是n 阶实对称矩阵，值
证明
【答案】令
由已知得T 是正交矩阵，且
于是
9． 设
（1）证明：（2）把【答案】（1）
和
线性无关；
扩充成一个极大线性无关组.
这两个向量不成比例，故线性无关.
排为第1, 2, 3, 4, 5列，
对它作初等行变换化成阶梯形.
②因f 次=4，g 次=2, 故商必为2次且首系数为1，令
或. 这就是g （x ）整除f （x ）的条件.
是A 的n 个正交的单位特征向量，它们分别属于特征
（2）作矩阵A ，它分别把
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