2017年广西师范学院数学综合(高等代数与数学分析)之高等代数考研复试核心题库
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一、分析计算题
1． 证明：矩阵方程
当r=n时，方程有唯一解；当r 【答案】 因为 所以A 的列向量组的极大无关组即为矩阵（A , B ） 的列向量的极大无关组. 从而B 的列向量 可由A 的列向量线性表示，令 在有解情况下， 则矩阵是方程AX=B的解 . 若AX=B有解C ，即AC=B，则B 的列是A 的列的线性组合. 因而A 的列向量组与（A ， B ）的列向量组等价. 所以 在有解时，记为B 的第i 列（i=l, …，s ）. （1）AX=B有唯一解（2）r 2． 如果a 是 ：有唯一解 r=n. 均有无穷多解，所以矩阵方程AX=B有无穷多解. 的一个k 重根，证明a 是 的一个k+3重根. 【答案】 因为a 是因此a 是 的一个 的一个k 重根，所以a 是 重根. 的一个k+1重根. 又因a 是 及 的根， 3． 设件为 在有解的情形，求出它的一般解. 【答案】对増广矩阵作初等行变换 证明：这方程组有解的充分必要条 即得方程组有解的充要条件是有解时，其一般解为 其中为自由未知量，令 得一个特解它 的导出组的一般解为 其中为自由未知量. 令 得它的一个基础解系为 故原方程组的全部解为 4． 设 计算行列式 【答案】因故D 可表为两个范德蒙德行列式之积 5． 设A 是n 阶实对称矩阵，值 证明 【答案】令 由已知得T 是正交矩阵，且 于是 6． 证明：向量 是A 的n 个正交的单位特征向量，它们分别属于特征 是向量在子空间 上的内射影的充分必要条件是，对任意的 有 【答案】如果是在上的内射影，则对任意的 其中因此 故有 即条件是必要的. 又若有于是有 也满足对任意有