2017年广州大学高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 由
证明：奇偶排列各半. 【答案】由于则上述行列式
半.
2． 设f 为双线性函数，且对任意的
求证：f 为对称的或反对称的 【答案】令（1）若
（2）若所以
都有
有则
有则
即f 为反对称的.
证明：如果A 是实对称矩阵且
那么
有
，即厂为对称的.
从而有
都有
.
为奇排列时
而偶排列时为1. 设有k 个奇排列和1个偶排列，
故
即奇偶排列各占一
3． 矩阵A 称为对称的，如果
【答案】设
则
于
是
即
由于所
有
皆为实数，故所
有
4． 设A 是n 级实对称矩阵. 证明:存在一正实数c 使对任一实n 维向量X 都有
【答案】根据本章习题10, 有正实数
使
是正定矩阵，因此有正实数c 使
.
都是正定矩阵.
于是对任一个n 维实向量X ，都有
因此
从而有
5． 设分块矩阵
（1）（2）
【答案】（1）因为两边取行列式得
（2）
又因为
所以 6． 设
其中A 、D 都可逆，证明：
【答案】
7． 若
令
可逆，且证明：可逆，并求所以E —BA 可逆.
【答案】证法1 因为
因为
由式（1）得，
由式（2）得，
所以
即
比较右下角块可得
证法2 因为从而
两边左乘B 得
所以
因此有
则
所以
故
可逆，且
可逆，所以存在可逆矩阵C ，使