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一、证明题

1． 设f 在

(2)

【答案】(1) 由得

并且对一切

故f 在R 上连续. (2) 对整数

有

所以

于是对任何有理数r 有上连续，有

2． 证明：若

【答案】(1) 若因

为

(2) 当且仅当a=0时，由，证明如下：由. 是如果

3． 证明：tanx

在

且

②由令

数列

知，对任意

满足

上无界，而在任一闭区间

故tanx 为则对一切

都有

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连续，且对任何

有证明：

(1) f 在R 上连续；

可知

于是

由f 在x=0连续可

对任何无理数

故对任何

存在有理数列

使由f 在R

则

则对任意

当且仅当a 为何值时反之也成立？

存在N ，使得n>N时，

当n>N时，也

有

此时，命题变为：

存在N ，当n>N时，

但数列

是发散的.

上有界.

则

即

于

于

是

所以对于任

意

可推出

【答案】①对任意正数M ，以1和M+1为两直角边作一直角三角形. 设其较大的锐角为

上的无界函数.

时，

. 故tanx 在[a, b]上有界.

可知，tanx 在[a, b]严格递增，从而当

二、解答题

4． 按柯西收敛准则叙述数列

⑴

【答案】

数列

使得

（1）取故数列（2）取

对任意的正整数N ，取

发散.

对任意的正整数N , 取

则有

并且

故数列（3）取

发散.

对任意的正整数N , 取

则有

故数列

发散.

5． 求下列极限：

【答案】(1) 因

所以

(2)

6． 设函数

【答案】

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发散的充要条件，并用它证明下列数列

（3）

是发散的：

（2）

发散的充要条件是：

存在对任意的正整数N ，

都存在正整数

则有

并且

求

：

7． 计算

【答案】设

，其中

为曲线

因为

所以积分与路径无关.

取积分路径为从(1，1，0) 到(1，1，1) 的直线段，则

8． 导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式：

【答案】⑴

移项，得

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从(1, 1，0) 到(1，1, 1) 的部分.