2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之常微分方程考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 求微分方程
’
【答案】满足条件的特解
①是一个非齐次线性微分方程.
相应的齐次方程为
两边积分得
应用常数变易法，
令
则
将②代入①，
得
又已知
所以
所以
故满足条件的特解为所以方程①的通解为
2． 求解如下微分方程：
（1）
（2
）
（3
）
【答案】（1
）将
变形为
则
由于
用乘方程①，
得到仅与y 有关，
从而方程有积分因子
②是一个恰当方微分方程，
且有
所以原微分方程的通解为
（2
）将
变形为
①是一个变量分离方程，
对①两边同时积分得方程的通解为
（3
）由题知
则
因此原微分方程是一个恰当方程.
设
从而有
则
故
因此方程的通解为
3． 证明若y （x
）是方程
上连续函数.
【答案】
由方程得满足条件的解，
则其中p （x
）是
或
所以
当时，
得
代入上式得
4． 设f （x
）在
的一切解y （x ），
均有
【答案】
证由于
上连续，
且又a>0, 求证：
对于方程则对任给的正数总存在X>0，当x>X时，
有
成立，因而当a>0
时有
即
所以由一阶线性方程通解公式，
方程的任一解可表示为
故
5． 求通解
：
【答案】将原微分方程等价变形，
得
将②代入①，
得
又
且
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