2018年湖南大学金融与统计学院813高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
是实数域R 上的3维线性空间V 内的一个线性变换, 对V 的一组基
（1）求的全部特征值和特征向量； （2）设
求的一个非平凡的不变子空间.
下的矩阵为A , 由题设有
计算可得所以时, 由令（2）由于
另外两个为虚根, 不属于实数域, 应舍去, 即在实数域R 上仅有一个特征值3.
当
可得特征向量为令从而有特征值
也是B 的特征向量, 令是W 的一组基.
2． 求二次型
【答案】设f 对应的矩阵为A ，则
则W 是的特征子空间, 从而为的非平凡的不变子空间,
且
其中k 为任意非零实数.
, 则属于特征值3的全部特征向量为
【答案】 （1）设在基
有
的秩与符号差.
于是由
可得A 的特征值为
3． 在6级行列式中，
【答案】
带正号；
这两项应带有什么符号？ 带正号.
4． 设f （X , Y ）为定义在数域P 上的n 维线性空间V 上的一个双线性函数, 证明:
可以表示成两个线性函数
积的充分必要条件是f （X , Y ）的度量矩阵A 的:【答案】设
在基
下的度量矩阵为
.
则A 可以分解成行矩阵与列矩阵之积, 设
则
故线性函数
为所求
.
若
则
则X , Y的任意性, 知
是f 的度量矩阵, 故
5． 主对角线上全是有相同的值；
1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵.
. 证明:A 与B 的对应顺序主子式
成
（1）设A 是一对称矩阵，T 为特殊上三角矩阵，而
（2）证明:如果对称矩阵A 的顺序主子式全不为0. 那么一定有一特殊上三角矩阵T 使对角形；
（3）利用以上结果证明定理7的充分性. 【答案】（1）将A 与T 表成分块矩阵：
其中
是S 级方阵
于是
其中，
是S 级方阵，并且
是特殊上三角矩阵.
即等于A 的第s 个顺序主子式，（2）对A 的级数作数学归纳法
.
时，结论显然成立. 设对
级实对称矩阵结论已成立.
令
设A 是n 级实对称矩阵且
.
于是B 的第s 个顺序主子式为
则是一个特殊上三角矩阵，而是特殊下三角矩阵
.
其中是一个实对称矩阵且其顺序主子式全不为0. 因此，根据数学归纳法假设，有
，使得
级
特殊上三角矩阵