2018年华东师范大学理工学院数学系817高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 求下列矩阵的最小多项式
（1）
（2）
【答案】 （1）以A 记题目所设的矩阵. 它的特征多项式为
A 的最小多项式是故A 的最小多项式为
.
的因式. 现计算得到
（2）仍以A 记题目所设的矩阵. 它的特征多项式为
A 的最小多项式是
2． 设分块矩阵
（1）（2）
【答案】（1）因为两边取行列式得
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的因式，现计算出其中A 、D 都可逆，证明：
. 故最小多项式为
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（2）
3． A 为正交阵
（1）（2
）当
（2）由假设知
所以
即
由①,
③, 并注意到移项并注意到再由于
可得
所以
结合⑤式可得
其次, 由②, ③得
再由
得
将⑧代入⑥即知
4． 已知
（1）A 的特征多项式
是6阶方阵A 的极小多项式，
且
及若当标准形.
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为
A 的特征值,
为相应特征向量,
证明:
【答案】 （
1）由于正交矩阵A 的特征值的模为1,
因此有
，试求
（2）A 的伴随矩阵A*的若当标准形. 【答案】 （1）设A 的不变因子为
由于A 的极小多项式是A 的最后一个不变因子，所以
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又A 的特征多项式以
为6次多项式，且
，所
从而A 的特征多项式
A 有初等因子
的若当标准形为
（2）由（1）知，存在可逆阵P , 使
又显见，所以有
由于
所以
的若当标准形为
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