2018年河北大学数学与信息科学学院624数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, 且在D 内任一子区域f （x , y ）=0.
【答案】
假设存在, 使得对一切
故必在D 上f （x , y ） =0.
2． 设求
【答案】令
所以
3． 讨论下列瑕积分的收敛性:
（1） （3） （5）
, 故积分
收敛.
,
（2） （4）
,
使得
,
有
.
不妨设
则
. 由连续函数的保号性知:
存在, 与已知
矛盾.
上有
, 则在D 上
.
【答案】 （1）x=0是瑕点（2）由于故积分
_收敛.
, 故x=l不是瑕点.x=0为惟一瑕点. 因
（3）x=l为瑕点（4）x=0为瑕点. 当（5）知
4． 据理回
收敛, 从而可知时, 积分发散.
, 此时p=l, . 故积分, 这里
, 故当收敛. 又由
发散. 时, 积分收敛;
,
由收敛.
知
【答案】
（1）何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质？
（2）对于可积函数, 若“所有下和（或上和）都相等”, 是否仍有（2）的结论？
答:（1）常量函数是具有“任意下和等于任意上和”的惟一函数. 事实上, 常量函数显然具有此性质, 反之, 设f （x ）具有此性质. 考虑分割T :
, 有
又S （T ）=s（T ）, 所以M （b —a ）=m（b —a ）, 得M=m, 故f （x ）=常数. （2）不成立例如
5． 求下列函数的导数:
【答案】（1）（2）
（3）（4）（5）（6）（7）
（8）（9）（10）
（11）（12）
在[0, 1]上,
都有s （T ）=0, 但, f （x ）不是常数.
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6． 设求极限
【答案】因为
且
所以当时,
当时,
7． 求由下列曲面所围立体V
的体积:（1） V 是由
（2） V 是由曲面【答案】（1）
由故体积
和和z=x+y得.
所围的立体.
和z=x+y所围的立体; , 因此积分区域
这里应用变换（2）由立体的顶面为
, 得
. 所以立体V 在xOy 平面上的投影为D :底面为
. 则体积
令
得
且
, 所以
8． 求下列由参量方程所确定的导数
（1）（2）【答案】（1）故
.
处 处