当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1．

设

与

中一个是收敛数列, 另一个是发散数列.

证明

是收敛数列, 是收敛数列, 因此

,

是发散数列,

又问

假设

和是收是发时,

是否必为发散数列? 【答案】用反证法. 不妨设敛数列,

由于散数列. 同理可证

在题设条件下

,

与时, 2． 求证:

在

上一致收敛. , 可得

又方法二:记情形

.

又

, 故

是函数

的最大值点. 因此

3． 设f （X ，y ）可微，I1与l2是R2上的一组线性无关向量，试证明:若（x , y ）三常数.

【答案】由已知

为的方向余弦，

①

②

则f

收敛, 由M 判别法即得原级数在

, 先求函数

上一致收敛.

的

【答案】方法一:由

, 并且

是发散数列. 令

是收敛数列. 这与题设矛盾,

故

也是发散数列. 和

都可能是发散的, 也可能是收敛的. 例如,

当

时

,

与

都是发散的.

而当

都是收敛的.

当发散,

收敛.

的最大值, 由于知u n （x ）为奇函数, 只需讨论

为的方向余弦，又因为I 1与l 2线性无关，所以

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

于是由①、②可得，

4． 证明曲线积分的估计式:利用上述不等式估计积分

【答案】

因为

这里又

为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦; 有

圆的参数方程为

, 而

从而

, 故由迫敛性知

•

使得

, 于是

, 其中L 为AB 的弧长

, 并证明

.

, 并

故f （X ，y ）=

常数.

5． 设函数f 在点a 的某个邻域上具有二阶导数. 证明:对充分小的h , 存在,

【答案】设f

在不妨设

, 令

, 使得

再令故有从而

令

, 则有

, 且

内具有二阶导数

.

, 则F （x ）与G （x ）在

上满足柯

西中值定理的条件,

故存在

, 则H （x ）在, 其中

上满足拉格朗日中值定理的条件, 于是

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

6． 设

, 其中

与v （y ）为[0, 1]上连续函数, 证明【答案】当

时,

由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续, 所以

7． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数, a 为实数. 证明:若f 在

【答案】因为k , 使得

在于是

上有界, 所以存在

即

故

使得对任意

对于任意

在R

上有界.

正数h 的所有整数倍从小到大依次为:由于h 是f 的周期,

因而

上有界, 则f 在R 上有界.

有

, 必存在惟一整数

二、计算及讨论题

8．

求下列函数的麦克劳林级数展开式:

（1）（2）.

得

【答案】（1）设

又

所以

〔2）