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一、填空题

1． 已知球面的一条直径的两个端点为（2, -3.5）和（4, 1, -3）, 则该球面的方程为_____。

【答案】

【解析】已知球面直径的两个端点，则可根据线段中点的计算公式求得该球面的球心坐标为

即（3, -1, 1）, 又球的半径就是这两个端点间距离的一半，故

即所求球面方程为

2． 设连续函数z=f（x , y ）满足

【答案】2dx-dy 【解析】由已知条件

可知，当x →0, y →0时有

根据二元函数全微分的定义知，函数z=f（x ，y ）在点（o , 1）处可微，且满足

所以

3．

【答案】【解析】对

作变量代换。令x=t+1，则t=x-1, dt=dx，则

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，则=_____.

=_____。

由右图可知原式= 4． 球面与平面

【答案】

的交线在yOz 平面上的投影方程为_____。

【解析】所有在yOz 平面上的投影方程可以看做是平面x=0与一个方程中不含x 的一个曲面相交所得的图形。在本题中，具体做法是将已知球面和已知平面联立，消除x ，得到的方程与x=0联立，即为所求的投影方程。

又平面方程为x+z=1，则x=1-z，代入球面方程

故所求投影方程为

5． 设

【答案】0

【解析】考察旋度的计算。

，其中

则

_____。 ，得

6． 设C 为

【答案】4 【解析】将

代入原函数积式的分母，利用格林公式，得

的正向则

=_____。

二、计算题

7． 求由抛物线

与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。

，设过焦点的直线为y=k（x-a ），则该直线与抛物线的交点的【答案】抛物线的焦点为（a , 0）纵坐标为

，

，面积为

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故面积是志的单调减少函数，因此其最小值在

，即弦为x=a时取到，最小值为

。

8． 在R 、L 、C 含源串联电路中，电动势为E 的电源对电容器C 充电，已知

，L=0.1H（亨），R=1000Ω，试求合上开关K 后的电流i （t ）及电压u c （t ）（微法）。

【答案】由回路定律知件，

故微分方程

为

解得

因

可令

是原方程的特解，代入方程，得

代入初始条件，

有

即

又

代入初始条件故

9． 已知

【答案】因为

于是

10．计算下列积分：

有

，计算在x=2处当△x 分别等于1, 0.1, 0.01时的△y 及dy 。

即

已知

其对应的齐次方程的特征方程

为

即

即

且依题意，有初始条

故方程的通解为

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