2018年辽宁大学生命科学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设X 服从泊松分布，且已知
【答案】由
得
求，从中解得
2． 设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为
. 现对样本中每一个观测值施行如下变换准差、极差和中位数.
【答案】不妨设样本A 为
样本B 为
且
因而
样本标准差为
样本极差为
样本中位数为
，由此得
如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标
3． 设以下所涉及的数学期望均存在，试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
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知
又由（1）知
所以有
4． 一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.
【答案】解法1记p 为罐子中白球的比例，令表示第i 次有放回抽样所得的白球数， 则
因为黑球数与白球数比值
，故p 的最大似然估计为
根据最大似然估计的不变性，有
对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为解法2设罐子里有白球1个，则有黑球从中有放回的抽一个球为白球的概率为
从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布
表
中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为
>
其对数似然函数为
将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得
由于其对数似然函数的二阶导数为
，
所以
是R 的最大似然估计.
， ，
，
个，从而罐中共有
. 个球.
譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计
即罐中黑球数与白球数之比的最大似然估计为4，若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球为8个等.
5． 下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（单位:h ）的观测值
表
设两样本独立且数据所属的两正态总体方差相等，且均值至多差一个平移量. 试问能否认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长（取
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）？
【答案】这个问题可归结为关于两总体的均值是否相等的检验问题. 两正态总体方差相等但仍
未知，故应釆用两样本t 检验. 设X 表示型号A 的计算器充电以后所能使用的时间，Y 表示型号B 的计算器充电以后所能使用的时间，则依题意，
经计算，
从而
其拒绝域为
由于检验统计量的取值
，故拒绝
，
. 查表知:
，待检验的假设为:
可以认为型号A 的计算器平燧使用时间明显比型号B 来得长.
6． 在生产中积累了32组某种铸件在不同腐蚀时间x 下腐蚀深度y 的数据，求得回归方程为
，总偏差平方和为0.1246. 且误差方差的无偏估计为
（1）对回归方程作显著性检验（2）求样本相关系数；
（3）若腐蚀时间x=870, 试给出y 的0.95近似预测区间. 【答案】 （1）由已给条件可以得
到
把这些平方和移至如下方差分析表上，继续计算
表
，因
此
，列出方差分析表；
若取显著性水平回归方程检验的p 值为
，则因此回归方程是显著的，此处，
这是一个很小的概率，说明回归方程显著性很高. （2）样本相关系数
（3）若腐蚀时间x=870, 则y 的预测值为
其0.95近似预测区间的半径为
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