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一、证明题

1． 设

【答案】一方面

另一方面

2． 设随机变量

【答案】

3． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布

试证明:【答案】设

相互独立. 则

所以

. 由此得

和

的联合密度为

所以

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，证明:

，试证明:

可分离变量，即U 与V 相互独立.

4． 设在常数c

为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有

则

证明:

服从大数定律.

对任意的

. 又设

有

为一列常数，如果存

【答案】不妨设

因而

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

5． 证明:若明:

与

是未知参数

服从大数定律. 的两个UMVUE , 则

依概率几乎处处成立. 这个命题表

的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是

几乎处处成立.

. 证明

:

是0的无偏估计，则已知

由此立即可得

6． 设随机变量X 取值

【答案】

几乎处处成立，即的概率分别是

7． 设

独立同分布，其共同的密度函数为

（1）证明:（2）计算

和

和

的均方误差并进行比较；

的估计中，

，故

最优.

，

都是的无偏估计；

（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为

，

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记，则Y 的密度函数为

于是有

这表明

也是的无偏估计.

故有

又

从而

由于（3）对形如

，因此在均方误差意义下，的估计有

优于

，故

»

因此当在形如

8． 设为

【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，

此可作为枢轴量，对给定

利用标准正态分布的

分位数

括号里的事件等价于

. 因而得

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（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于

时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，

的估计中，

是来自泊松分布

最优.

的近似

置信区间

的样本，证明:当样本量n 较大时，

，因而

可得