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一、证明题

1． . 令试证

【答案

】

为一组

使得

用

左乘上式，并且由共轭关系可知：

令由

知BA=E，所以故得证。

2． 对于M/M/1/∞/∞模型，在先到先服务情况下，试证明:

顾客排队等待时间分布的概率密度是

，并根据该式求等待时间的期望值

为在统计平衡 下顾客的等待时间，则

由a n 的定义，得

，于是有

。

，【答案】令N ’为在统计平衡下一个顾客到达时刻看到系统中已有的顾客数（不包括此顾客）

。

A

共轭向量，它们必线性无关。

则

。

，A 为为一组A 共轭向量（假定为列向量）

对称正定矩阵，

由定理知，对任何一个输入为最简单流的单服务台或多服务台的等待制排队系统，

恒有

，所以，

到达者遇到系统中顾客数不少于1个顾客，是需要等待的充要条件，因此

①

因为当系统中有n （n ≥l ）个顾客时，其中只有一个顾客正在接受服务，而其余n-1个顾客在排队等待，所以，新到顾客必须在服务台轮空n 次后，才能接受服务。于是，服务台轮空次数m （t ）t的充要条件，因此

②

其次，因为服务时间服从负指数分布，故其输出流，即服务台轮空次数m （t ）是一最简单流，其参数为

因此

③

将③式代入②式，然后再将②式代入①式，得

，其中，

，有

所以，顾客在系统中的等待时间分布为

因为，

以正概率

取0值，而当t>0时，它又具有连续型随机变量的性质，其分布函数必

既不是连续型随机变量，又不是离散型随机变量。然而类似于连的密度函数为

在（0，+∞）

上连续。所以续型随机变量，可以定义

。

二、计算题

3． 某公司兴建一座港口码头，只有一个装卸船只的位置。设船只到达的间隔时间和装卸时间都服从负指数 分布，预计船只的平均到达率为3只/天，船只到港后如不能及时装卸，停留一日公，己知单位装卸司将损失1500元。现需设 计该港口码头的装卸能力（即每日可以装卸的船只数）

能力每日平均生产费用为2000元，问装卸 能力为多大时，每天的总支出最少? 在此装卸能力之下，求:

（l ）装卸码头的利用率;

（2）船只到港后的平均等候时间;

（3）船只到港后总停留时间大于一天的概率。

【答案】设装卸能力为刀，公司的支出则令所以

解得

时，每天的总支出最少。

码头的利用率为

天。

即船只到港后的平均等候时间是

（3）设船只到港后的总停留时间T 则T 服从分布函数为

的负指数分布

4． 某产品从仓库A i （i=1， 2, 3）运往市场B j （j=1， 2, 3，4） 销售，已知各仓库的可供应量、各市场的需求量及从A 1仓库到B 1市场路径上的容量如表所示（表中数字0表示两点之，请制定一个调运方案使从各仓库调运产品总量最多。 间无直接通路）

表

【答案】该问题是求最大流问题，由题得网络图，其中S 、D 是虚拟开始和结束点，各路径最大容量如图所示，初始流量为0: