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一、证明题

1． 设G 为2*2对策，且不存在鞍点。证明若

。

【答案】可利用反证法求证。 假设条件不成立，可设

。

又

。

当

时，对

，存在鞍点，最优纯策略为

; 当a 12=a11=a21时

，，所以

和

是G 的解，

则

， 存在鞍点，最优纯策略为

2． 证明:矩阵对策

，这与G 不存在鞍点矛盾，故结论成立。

的鞍点不存在的充要条件是有一条对角线的每一个元素均大于另一对角线上的每一个元素。 【答案】（l ）先证充分性，要使鞍点存在，

就必存在

①

可假设主对角线的每一个元素均大于次对角的每一个元素，即

使对一切

，

有

则充分性得证。

（2）证必要性。假设“有一条对角线的每一个元素均大于另一条对角线上的每一个元素”这种情形不存在，则可设

又可假设

其他情形同理可类推得出存在鞍点，由命题与逆否命题等价可知必要性成立.

二、计算题

3． 利用单纯型法求解上题的线性规划问题。

【答案】在上述约束条件中加入x 6, x 7, x 8，用单纯形法求解得到表1至表4。

表

1

表

2

表

3

表

4

由计算得到最优下料方案是:按l 方案下料30根; 2方案下料10根:4方案下料50根。即需90根原材料, 可以制造100套刚架。

4． 有一种设备最长使用3年时间，现考虑它在3年内的更新问题。在每年年初要作出决策，是继续使用还 是更新。如果继续使用，己知每年需要支付的维修费用如下表所示（单位:百元）:

表

如果更新设备，已知在各年年初购置该种设备的价格如表所示（残值忽略不计）（单位:百元）:

表

己知开始时该设备已经使用了l 年，问每年年初应怎样作出决策，才能使3年内该项设备的购置和维修总费 用最少? （用动态规划方法求解）

【答案】由更新设备与维修设备费用表可知，三年时间仅需选购一次设备。s k 表示k 年购进设备，可知s k 为0.1; xk 为设备在第k 年的使用年限; 设c k （x k ）为设备在第k 年的维修费用; P k 为设备在k 年购进时价格; f k （s k ）为 k 年购进设备总费用。