2017年郑州大学联合培养单位河南工程学院915高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 不用求出函数并指出它们所在的区间。
【答案】函
数少存在
,
,
分别
在
内可导,
且
, 使
即方程
至少有三个实根,
又方程
为三次方程, 故它至多有三个实根, 因此
方程有且仅有三个实根, 它们分别位于区间内。
2． 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中，其速率为4 m3/min。当水深为5m 时，其表面上升的速率为多少?
上连续, 分别
在
由罗尔定理知至
的导数, 说明方程
有几个实根,
图
，水的容积为V （t ），【答案】如图所示，设在t 时刻容器中的水深为h （t ）即即故
3． 设有一长度为1，线密度为μ的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。
【答案】如图设立坐标系，取y 为积分变量，则Y 的变化范围为[0, 1]，对应小区间[y, y+dy]与质点M 的引力大小的近似值为轴方向的分量分别为
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，
，其中，把该力分解，得到x 轴、y
因此
图
4． 求与坐标原点O 及点（2，3，4）的距离之比为1:2的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
，根据题意有
【答案】设动点坐标为（x ，y ，z ）
化简整理得
它表示以
为球心，以
为半径的球面.
5． 利用二重积分的性质估计下列积分的值:
，其中，其中，其中
；
；
；
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，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，面积等于1，因此
（2）在积分区域D 上，积等于
，因此
（3）在积分区域D 上有
，D 的面积等于2，因此
（4）因为在积分区域D 上有又D 的面积等于
，因此
6． 应用对参数的微分法，计算下列积分：
，所以有
，从而，从而
。
。又D 的
，又D 的面
【答案】（1）设
则
由于
故
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