2017年曲阜师范大学数学科学学院875线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 已知二次型
（1）求的值； （2）求正交变換
（3）求方程
把的解.
的行列式为0，即
化成标准形；
的秩为2.
【答案】（1）由于二次型f 的秩为2，则对应的矩阵有
所以a=0.
（2）当a=0时，
可知A 的特征值为A 属于
_A
属于且易见：
（二重）的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为
两两正交. 将
单位化得
取令
得.
则为正交矩阵.
下
，
化成
解之得
从而
（3）解法1:
在正交变换
的解为
为任意常数.
解法2:由于
所以
其通解
2． 设T 是线性空间V 上的线性变换，Z 是V 的非零向量. 若向量组与它们线性相关. 证明：子空间
【答案】线性表出，
即
则
故
即证W 是T 的不变子空间.
下的矩阵为A , 则
设T
在基
线性无关，而
线性相关，所以
线性无关，而可由
是T 的不变子空间，并求在该组基下的矩阵.
即为所求（其中k 为任意常数）.
3． 设A 为n 阶半正定阵，B 为n 阶正定阵，证明：
且等成立当且仅当A=0.
【答案】由假设知A+B正定阵，（A+B）-B 半正定，B 正定，由第413题有
正定，有存在可逆阵P ，使
其中
设C 的n
个特征值为C+E的n 个特征值为
其中
由C 半正定，因此至少有一个
由②有
4． 求出通过点
【答案】设球面的中心为将四个点代入，得
半径为r ，其方程为
的球面的方程.
不妨设
那么
易解出，而故此球面方程为
5． 设
【答案】令
由换元公式得
这里r 是
中所有元素的代数余子式之和. 由
解得
6． 求矩阵
的本征值
本征矢量
这些矢量
是否为正交的？
，求行列式
的值.
【答案】本征值就是特征值，本征矢量就是特征向量
.
所以B 的3个特征值为当当当
时，由时. 由
得基础解系（即属于特征2的特征向量）为
得属于特征值1的特征向量为
得属于特征值4的特征向量为